Question

已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在時(shí)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)題中條件得出，從可即可求解出的值，注意，根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值去求參數(shù)的值時(shí)，往往必須進(jìn)行檢驗(yàn)，也就是將所求得的的值代回原函數(shù)，看看是否真的在該點(diǎn)處取得極值，如果不是必須舍去，如果是則保留；（2）先將對(duì)任意恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為在恒成立，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)并進(jìn)行因式分解得到，進(jìn)而分、兩類(lèi)分別確定的單調(diào)性，隨之確定，然后分別求解不等式，解出的取值范圍，最后取這兩種情況下的的取值范圍的并集即可.

（1），依題意有：，即

解得：

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，

此時(shí)：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿(mǎn)足在時(shí)取得極值

綜上： 5分

（2）依題意：對(duì)任意恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為在恒成立 6分

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令得： 8分

當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在恒成立，則在單調(diào)遞增，于是，解得：，此時(shí)： 10分

②當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，于是，不合題意，此時(shí)：

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是 12分.

說(shuō)明：本題采用參數(shù)分離法或者先用必要條件縮小參數(shù)范圍也可以.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；3.分類(lèi)討論的思想.