Question

已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在時取得極值，求實數(shù)的值；

（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，進而根據(jù)題中條件得出，從可即可求解出的值，注意，根據(jù)函數(shù)在某點取得極值去求參數(shù)的值時，往往必須進行檢驗，也就是將所求得的的值代回原函數(shù)，看看是否真的在該點處取得極值，如果不是必須舍去，如果是則保留；（2）先將對任意恒成立等價轉(zhuǎn)化為在恒成立，進而求出導(dǎo)函數(shù)并進行因式分解得到，進而分、兩類分別確定的單調(diào)性，隨之確定，然后分別求解不等式，解出的取值范圍，最后取這兩種情況下的的取值范圍的并集即可.

（1），依題意有：，即

解得：

檢驗：當(dāng)時，

此時：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足在時取得極值

綜上： 5分

（2）依題意：對任意恒成立等價轉(zhuǎn)化為在恒成立 6分

因為

令得： 8分

當(dāng)即時，函數(shù)在恒成立，則在單調(diào)遞增，于是，解得：，此時： 10分

②當(dāng)即時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，于是，不合題意，此時：

綜上所述：實數(shù)的取值范圍是 12分.

說明：本題采用參數(shù)分離法或者先用必要條件縮小參數(shù)范圍也可以.

考點：1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；3.分類討論的思想.