已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為y軸,且準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-
1
2
.
直線(xiàn)l過(guò)M(1,0)與拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在y軸的右側(cè)且滿(mǎn)足
OP
=
1
2
OA
+
1
2
OB
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求拋物線(xiàn)的方程及動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C,若曲線(xiàn)C的切線(xiàn)斜率為λ,滿(mǎn)足
MB
MA
,點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為a,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)方程,點(diǎn)斜式設(shè)出直線(xiàn)l的方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立方程組,得到直線(xiàn)l與物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系,由
OP
=
1
2
OA
+
1
2
OB
得到點(diǎn)P的坐標(biāo)與直線(xiàn)斜率k的關(guān)系,消去k得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
(Ⅱ)先求出曲線(xiàn)C的切線(xiàn)斜率λ的范圍,又
MB
MA
,用λ表示a,由斜率λ的范圍得出a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)由題意知拋物線(xiàn)的方程為x2=2py(p>0),且
p
2
=
1
2
.

∴p=1,拋物線(xiàn)的方程為x2=2y.(2分)
直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),
直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于一點(diǎn),不符合題意.(3分)
于是設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-1).
聯(lián)立
y=k(x-1)
x2=2y
,得x2-2kx+2k=0.

設(shè)兩交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).
則△=4k2-8k>0?k>2或k<0,(4分)
∴x1+x2=2k,x1x2=2k.(5分)
設(shè)P(x,y),則
OP
=(x,y),
OA
=(x1,y1),
OB
=(x2,y2).

OP
=
1
2
OA
+
1
2
OB

x=
x1+x2
2
=k
y=
y1+y2
2
=
1
2
[k(x1-1)+k(x2-1)]=k2-k.

消去k得y=x2-x.(7分)
又∵P點(diǎn)在y軸的右側(cè)∴x>0,
又∵x=k,k>2或k<0,∴x>2.(8分)
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y=x2-x,(x>0);
(Ⅱ)∵曲線(xiàn)C的方程為y=x2-x,(x>2)
∴切線(xiàn)斜率λ=y=2x-1(x>2).(9分)
∴λ>3.(10分)
MB
=(x2-1,y2),
MA
=(x1-1,y1)

MB
MA

x2-1=λ(x1-1)
y2y1
?
x2x1-λ+1
x22x12

∴λx12-2λx1+λ-1=0.
解得x1=
2λ±
=1±
1
λ
.
(12分)
a=x1=1±
1
λ
,(λ>3)
(13分)
∴a的取值范圍是:(1-
3
3
,1)∪(1,1+
3
3
).
(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線(xiàn)方程、軌跡方程的求法,以及向量運(yùn)算.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:天驕之路中學(xué)系列 讀想用 高二數(shù)學(xué)(上) 題型:044

已知拋物線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸與y軸平行,頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5,若將拋物線(xiàn)C向上平移3個(gè)單位,則在x軸上截得的線(xiàn)段為原拋物線(xiàn)C在x軸上截得的線(xiàn)段的一半;若將拋物線(xiàn)C向左平移1個(gè)單位,則所得拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),求拋物線(xiàn)C的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案