Question

20．已知函數(shù)f（x）是定義R在上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x-3，則不等式f（x）≤-5的解集為（-∞，-3]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出當(dāng)x＜0的解析式，討論x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．

解答 解：若x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x-3，
∴當(dāng)-x＞0時(shí)，f（-x）=2^-x-3，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=2^-x-3=-f（x），
則f（x）=-2^-x+3，x＜0，
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）≤-5等價(jià)為2^x-3≤-5即2^x≤-2，無(wú)解，不成立；
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式f（x）≤-5等價(jià)為-2^-x+3≤-5即2^-x≥8，
得-x≥3，即x≤-3；
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，不等式f（x）≤-5不成立，
綜上，不等式的解為x≤-3．
故不等式的解集為（-∞，-3]．
故答案為：（-∞，-3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解集的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．