對一切n∈N，(a+b)n－(an+bn)≥22n－2n+1．

 

答案：
解析：

分析　 如果不等式是關(guān)于自然數(shù)命題的形式，又無好的切入點時，不妨試用數(shù)學歸納法來證明．

證明:(1)當n=1時，左邊=(a+b)－(a+b)=0，右邊=22－22=0，所以左=右，因此原不等式成立．

(2)假設(shè)n=k時，不等式成立，即(a+b)k－(ak+bk)≥22k－2k+1．則n=k+1

于是有ab=a+b≥4．因此

(a+b)k+1－(ak+1+bk+1)

=(a+b)(a+b)k－(a+b)(ak+bk)+(a+b)(ak+bk)－(ak+1+bk+1)

=(a+b)[(a+b)k－(ak+bk)]+(ak+1+bk+1)+abk+bak－(ak+1+bk+1)

所以n=k+1時，原不等式成立．

<

綜合(1)，(2)，對于任意的自然數(shù)n，原不等式成立．

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+3
3x
，數(shù)列{an}滿足：a1=1，a n+1=f（
1
an
），
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+a2n-1a2n-a2na2n+1求Tn；
（3）設(shè)bn=
1
an-1an
（n≥2），b1=3，Sn=b1+b2+b3+…+bn，若Sn＜
k-2004
2
對一切n∈N*成立，求最小的正整數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，點（n，Sn）在函數(shù)f（x）=x2+x的圖象上．
（1）求an的表達式；
（2）設(shè)An為數(shù)列{
1(an-1)(an+1)
}的前n項和，是否存在實數(shù)a，使得不等式An＜a對一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）將數(shù)列{an}依次按1項，2項循環(huán)地分為（a1），（a2，a3），（a4），（a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10），
…，分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，求b100的值；
（4）如果將數(shù)列{an}依次按1項，2項，3項，4項循環(huán)；分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，提出同（3）類似的問題（（3）應(yīng)當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

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科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

對一切n∈N，(a+b)n－(an+bn)≥22n－2n+1．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對一切n∈N*,點(n,Sn)在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上.

(1)求an的表達式.

(2)將數(shù)列{an}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,a8,a9,a10);(a11),(a 12,a13),(a14,a15,a16),(a17,a18,a19,a20);(a21),…,分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn},求b5+b100的值.

(3)設(shè)An為數(shù)列{}的前n項積,是否存在實數(shù)a,使得不等式An＜a對一切n∈N*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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