Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點分別為F₁、F₂，拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F₁，點M（

2 6

3

，

2

3

）是橢圓與拋物線的公共點．
（1）求橢圓和拋物線的方程．
（2）過點N（2t，t²）作拋物線的切線l與橢圓交于不同的兩點A、B，設F₁到切線l的距離為d，求

|AB|

d

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,導數的概念及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）將點M代入拋物線方程，即可得到p=2，求得焦點，運用橢圓的定義，得到2a=4，再由a，b，c的關系解得b，進而得到橢圓方程；
（2）N是拋物線上的點，即為切點，求出y=

1

4

x²的導數，求出拋物線的切線斜率，運用點斜式方程寫出切線方程，再運用點到直線的距離公式得到d，聯立切線方程和橢圓方程，消去y，得到二次方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由弦長公式，求得弦長，再化簡

|AB|

d

，配方運用二次函數的最值，即可得到范圍．

解答： 解：（1）由題意，將點M代入拋物線方程，得到（

2 6

3

）²=2p•

2

3

，解得p=2，
即有拋物線方程為：x²=4y；
則焦點F₁（0，1），F₂（0，-1），即c=1，
由橢圓的定義可得：2a=|MF₁|+|MF₂|=

24 9 + 1 9

+

24 9 + 25 9

=4，即有a=2，
b²=a²-c²=3，
則橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由于N是拋物線上的點，即為切點，y=

1

4

x²的導數為y′=

1

2

x，
則切線的斜率為t，切線方程是：y-t²=t（x-2t），即為y=tx-t²，
則F₁到切線l的距離d=

|0-1-t2|

1+t2

=

1+t2

，
聯立切線方程和橢圓方程，消去y，得到（3t²+4）x²-6t³x+3t⁴-12=0，
則設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
即有判別式△=36t⁶-4（3t²+4）（3t⁴-12）＞0，即0≤t²＜4，
x₁+x₂=

6t3

4+3t2

，x₁x₂=

3t4-12

4+3t2

，
|AB|=

1+t2

•

( 6t3 4+3t2 )2-4• 3t4-12 4+3t2

，
則

|AB|

d

=

4 3 4-t4+3t2

4+3t2

，
令4+3t²=m（4≤m＜16），則

|AB|

d

=4

3

•

m- (m-4)2 9

m

=

4 3

3

•

17 m - 16 m2 -1

，（

1

16

＜

1

m

≤

1

4

），
由于-

17

2×(-16)

∉（

1

16

，

1

4

]，
則有令

1

m

=

1

16

，則

|AB|

d

=0，令

1

m

=

1

4

，則

|AB|

d

=2

3

．
則

|AB|

d

的取值范圍是（0，2

3

]．

點評：本題考查拋物線和橢圓的方程和性質及運用，考查運用導數求切線方程，以及應用點到直線的距離公式，同時考查聯立直線方程和橢圓方程消去未知數，運用韋達定理和弦長公式，注意判別式大于0，考查運算能力，屬于中檔題．