Question

19．有以下四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件；
②若命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＜1；
③函數(shù)y=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{5}{6}$π+2kπ]（k∈z）；
④若函數(shù)f（x）=x²+2x+2a與g（x）=|x-1|+|x+a|有相同的最小值，則$\int_1^a{f（x）}dx$=$\frac{28}{3}$．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理，可判斷①；寫出原命題的否定，可判斷②；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可判斷③，求出a值，進(jìn)而求出積分，可判斷④

解答 解：①△ABC中，“A＞B”?“a＞b”?“2RsinA＞2RsinB”?“sinA＞sinB”，故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件，即①是真命題；
②若命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＞1，故②是假命題；
③由2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]（k∈z）得：x∈[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5}{6}$π+kπ]（k∈z）；
即函數(shù)y=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5}{6}$π+kπ]（k∈z），故③是假命題；
④若函數(shù)f（x）=x²+2x+2a的最小值為：2a-1，
函數(shù)g（x）=|x-1|+|x+a|的最小值為：|a+1|，
由2a-1=|a+1|得：a=2，
則$\int_1^a{f（x）}dx$=${∫}_{1}^{2}（{x}^{2}+2x+4）dx$=$（\frac{1}{3}×{2}^{3}+{2}^{2}+4×2）$-$（\frac{1}{3}×{1}^{3}+{1}^{2}+4×1）$=$\frac{28}{3}$，故④是真命題；
故真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷為載體考查了正弦定理，全稱命題的否定，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，積分等知識點(diǎn)，難度中檔．