Question

如圖，點(diǎn)P是橢圓+=1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是點(diǎn)M在x軸上的射影，坐標(biāo)平面xOy內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M滿足：（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)F的直線l交曲線C于D，E兩點(diǎn)，且2=，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G，求直線GD的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），P（x，y），則H（x，0），由動(dòng)點(diǎn)M滿足：（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用P（x，y）是橢圓+=1上一動(dòng)點(diǎn)，即可求出曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=k（x-1），設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2=，得坐標(biāo)之間的關(guān)系，聯(lián)立，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，利用韋達(dá)定理，即可求得k=，，，再分，分別求得求直線GD的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），P（x，y），則H（x，0），
由動(dòng)點(diǎn)M滿足：（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），即
∴
∵P（x，y）是橢圓+=1上一動(dòng)點(diǎn)
∴
∴
∴x²+y²=4
∴曲線C的方程為x²+y²=4
（Ⅱ）直線l：y=k（x-1），設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2=，
則 
∴x₂=3-2x₁
聯(lián)立，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
則 x₁+x₂=，…①x₁x₂=，…②，
x₂=3-2x₁代入①、②得，，…③，…④
由③、④得k=，…（9分）
∴，
（i）若時(shí)，，，
∴，
∴，
∴直線GD的方程是，即；
（ii）當(dāng)時(shí)，同理可求直線GD的方程是…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題時(shí)聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是關(guān)鍵