Question

已知函數(shù)：f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對于任意的a∈[1，2]，若函數(shù)g(x)=x3+

x2

2

[m-2f′(x)]在區(qū)間（a，3）上有最值，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對f（x）求導，f′(x)=

1

x

-a，分a＞0，a＜0兩種情況寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對函數(shù)g（x）求導得g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，根據(jù)g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，得到g（x）在區(qū)間（a，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，從而得到g′(0)=-1∴

g′(a)＜0 g′(3)＞0

，另由對任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，分離參數(shù)即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域為（0，+∞），且f′(x)=

1

x

-a，（2分）
當a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，

1

a

)，減區(qū)間為(

1

a

，+∞)；
當a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；（6分）
（Ⅱ）g(x)=x3+

x2

2

[m-2f′(x)]=x3+(

m

2

+a)x2-x，∴g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，
∵g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，
∴g（x）在區(qū)間（a，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，
又g′(0)=-1∴

g′(a)＜0 g′(3)＞0

（9分）
由題意知：對任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，∴m＜

1-5a2

a

=

1

a

-5a，因為a∈[1，2]，所以∴m＜-

19

2

，
對任意a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞-

32

3

∴-

32

3

＜m＜-

19

2

（12分）

點評：此題是個中檔題．考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，體現(xiàn)了對分類討論和化歸轉化數(shù)學思想的考查，特別是問題（II）的設置很好的考查學生對題意的理解與轉化，創(chuàng)造性的分析問題、解決問題的能力和計算能力．