設(shè)函數(shù)f(x)=數(shù)學(xué)公式
(1)當(dāng)a=1時(shí),證明:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)若y=f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),求正數(shù)a的范圍;
(3)在(1)的條件下,設(shè)數(shù)列{an} 滿足:0<an<1,且a n+1=f(an),求證0<a n+1<an<1.

解:(1)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)=,g(x)=f′(x)=x-sinx>0在(0,+∞)上恒成立,故函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)由f(x)=
h(x)=f′(x)=ax-sinx
若y=f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),,
則f′(x)=ax-sinx>0恒成立…(5分)
當(dāng)a≥1時(shí),對(duì)任意x∈(0,+∞),
恒有ax≥x>sinx,此時(shí)f′(x)=ax-sinx>0
所以y=f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)
當(dāng)0<a<1時(shí),h′(x)=a-cosx
令導(dǎo)數(shù)h′(x)=0
得cosx=a在(0,)上存在x0使得cosx0=a
當(dāng)x∈(0,x0),h′(x)=a-cosx<0,h(x)=f′(x)<f′(0)=0
這與y=f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)即f′(x)=ax-sinx>0
恒成立矛盾,所以a≥1
(3)由(1)當(dāng)0<x<1,0=f(0)<f(x)<F(1)=-+cos1<1
當(dāng)0<a1<1,a2=f(a1)∈(0,1),假設(shè)0<ak<1,則ak+1=f(ak)∈(0,1),
又an-an+1=an-an2+1-cosan,
因?yàn)閍n-an2+1∈(1,),cos1<cosan<1所以
an-an+1=an-an2+1-cosan>0,即an>an+1,
所以0<a n+1<an<1
分析:(1)當(dāng)a=1時(shí),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),證明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在(0,+∞)上大于0恒成立,即可說明函數(shù)是增函數(shù);
(2)y=f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),故其導(dǎo)數(shù)在(0,+∞)上恒大于0,由此不等式求正數(shù)a的范圍;
(3)本題中的不等式與自然數(shù)有關(guān),此類不等式一般采用數(shù)學(xué)歸納法證明,故有數(shù)學(xué)歸納法的做題步驟證明0<a n+1<an<1.
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,解題的關(guān)鍵是了解導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,且能根據(jù)這一關(guān)系證明單調(diào)性,及根據(jù)它建立不等式求參數(shù),本題中第三小題用到了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,要注意數(shù)學(xué)歸納法的步驟.本題運(yùn)算過程較長(zhǎng),運(yùn)算量較大,解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真,避免運(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致解題失。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對(duì)于任意的x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,則實(shí)數(shù)a的值為
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(2013•安徽)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,區(qū)間I={x|f(x)>0}
(Ⅰ)求I的長(zhǎng)度(注:區(qū)間(a,β)的長(zhǎng)度定義為β-α);
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(2007•浦東新區(qū)二模)記函數(shù)f(x)=f1(x),f(f(x))=f2(x),它們定義域的交集為D,若對(duì)任意的x∈D,f2(x)=x,則稱f(x)是集合M的元素.
(1)判斷函數(shù)f(x)=-x+1,g(x)=2x-1是否是M的元素;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=log2(1-2x),求f(x)的反函數(shù)f-1(x),并判斷f(x)是否是M的元素;
(3)f(x)=
axx+b
∈M(a<0),求使f(x)<1成立的x的范圍.

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記函數(shù)f(x)=f1(x),f(f(x))=f2(x),它們定義域的交集為D,若對(duì)任意的x∈D,f2(x)=x,則稱f(x)是集合M的元素,
例如f(x)=-x+1,對(duì)任意x∈R,f2(x)=f(f(x))=-(-x+1)+1=x,故f(x)=-x+1∈M.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=log2(1-2x),判斷f(x)是否是M的元素,并求f(x)的反函數(shù)f-1(x);
(2)f(x)=
axx+b
∈M
(a<0),求使f(x)<1成立的x的范圍.

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(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0<x<1),求f(x)的最小值.
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