Question

已知{a_n}是公差為d的等差數列，{b_n}是公比為q的等比數列．
（1）若a_n=3n+1，是否存在m、k∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？說明理由；
（2）找出所有數列{a_n}和{b_n}，使對一切n∈N^*，，并說明理由；
（3）若a₁=5，d=4，b₁=q=3，試確定所有的p，使數列{a_n}中存在某個連續(xù)p項的和是數列{b_n}中的一項，請證明．

Answer 1

解：（1）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+5=3k+1，
整理后，可得，∵m、k∈N^*，∴k-2m為整數，
∴不存在m、k∈N^*，使等式成立．
（2）設a_n=nd+c，若，對n∈N^×都成立，
且{b_n}為等比數列，則，對n∈N^×都成立，
即a_na_n+2=qa_n+1²，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）²，
對n∈N^×都成立，∴d²=qd²
（i）若d=0，則a_n=c≠0，∴b_n=1，n∈N^*．
（ii）若d≠0，則q=1，∴b_n=m（常數），即=m，則d=0，矛盾．
綜上所述，有a_n=c≠0，b_n=1，使對一切n∈N^×，．
（3）a_n=4n+1，b_n=3ⁿ，n∈N^*，
設a_m+1+a_m+2++a_m+p=b_k=3^k，p、k∈N^*，m∈N．
，
∴，
∵p、k∈N^*，∴p=3^s，s∈N
取k=3s+2，4m=3^2s+2-2×3^s-3=（4-1）^2s+2-2×（4-1）^s-3≥0，由
二項展開式可得整數M₁、M₂，
使得（4-1）^2s+2=4M₁+1，2×（4-1）^s=8M₂+（-1）^S2
∴4m=4（M₁-2M₂）-（（-1）^S+1）2，
∴存在整數m滿足要求．
故當且僅當p=3^s，s∈N，命題成立．
分析：（1）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N^*，知k-2m為整數，所以不存在m、k∈N^*，使等式成立．
（2）設a_n=nd+c，若，對n∈N^×都成立，且{b_n}為等比數列，則，對n∈N^×都成立，由此入手能夠導出有a_n=c≠0，b_n=1，使對一切n∈N^×，．
（3）a_n=4n+1，b_n=3ⁿ，n∈N^*，設a_m+1+a_m+2++a_m+p=b_k=3^k，p、k∈N^*，m∈N．
4m+2p+3+，由p、k∈N^*，知p=3^s，s∈N．由此入手能導出當且僅當p=3^s，s∈N，命題成立．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．