(2012•鐘祥市模擬)已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示,其正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

(1)求證:BN⊥平面C1B1N;
(2)設(shè)θ 為直線C1N與平面CNB1所成的角,求sinθ 的值
(3)設(shè)M為AB中點(diǎn),在BC邊上找一點(diǎn)P,使MP∥平面CNB1并求
BPPC
的值
分析:(1)該幾何體的正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,BA,BC,BB1兩兩垂直. 以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,BC,BB1所在直線別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系
,證出
BN1
NB1
=0,
BN
B1C1
=0后即可證明BN⊥平面C1B1N;
(2)求出平面NCB1的一個(gè)法向量
n2
,利用
C1N
與此法向量的夾角求出直線C1N與平面CNB1所成的角
(3)設(shè)P(0,0,a)為BC上一點(diǎn),由MP∥平面CNB1,得知
MP
n2
,利用向量數(shù)量積為0求出a的值,并求出
BP
PC
的值
解答:(1)證明:∵該幾何體的正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,
∴BA,BC,BB1兩兩垂直.                              …(2分)
以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,BC,BB1所在直線別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)
BN
NB1
=(4,4,0)•(-4,4,0)=-16+16=0
BN
B1C1
=(4,4,0)•(0,0,4)=0
∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1且NB1與B1C1相交于B1,
∴BN⊥平面C1B1N;   …(4分)
(2)解:設(shè)n2=(x,y,z)為平面NCB1的一個(gè)法向量,
則  
n2
CN
=0
n2
NB1
=0
(x,y,z)•(4,4,-4)=0
(x,y,z)•(-4,4,0)=0
x+y-z=0
-x+y=0
,取
n2
=(1,1,2),
C1N
=(4,-4,-4)

sinθ=|
(4,-4,-4)•(1,1,2)
16+16+16
1+1+4
|=
2
3
;…(8分)
(3)∵M(jìn)(2,0,0).設(shè)P(0,0,a)為BC上一點(diǎn),則
MP
=(-2,0,a)
,∵M(jìn)P∥平面CNB1,
MP
n2
MP
n2
=(-2,0,a)•(1,1,2)=-2+2a=0⇒a=1

又PM?平面CNB1,∴MP∥平面CNB1,
∴當(dāng)PB=1時(shí),MP∥平面CNB1
BP
PC
=
1
3
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系及判斷,線面角求解,利用空間向量的方法,能夠降低思維難度,但要注意有關(guān)的運(yùn)算要準(zhǔn)確.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2012•鐘祥市模擬)設(shè)x,y滿足
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
x+y≥3
,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)最大值為14,則a為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•鐘祥市模擬)已知
a
=(1,2),
b
=(-3,2)
,當(dāng)k
a
+
b
a
-3
b
平行時(shí),k的值為
-
1
3
-
1
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•鐘祥市模擬)(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
已知直角坐標(biāo)系xoy中,直線l的參數(shù)方程為
x=t-3 
y=
3
(t為參數(shù))
.以直角坐標(biāo)系xOy中的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ+3=0,則圓心C到直線l距離為
5
3
2
5
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•鐘祥市模擬)已知點(diǎn)P為雙曲線
x2
a2
y2
b2
=1
(a,b>o),被斜率為1的直線截得的弦的中點(diǎn)為(4,1),該雙曲線離心率是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•鐘祥市模擬)如果關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+2|<a的解集不是空集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(3,+∞)
(3,+∞)

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