Question

如圖，G是△ABC的重心，過G的直線與邊AB，AC相交于E，F，若

AE

=λ

AB

，

AF

=μ

AC

(λμ≠0)，求證：

1

λ

+

1

μ

=3．

Answer 1

分析：抓住E、G、F三點共線，從而有向量共線，由兩個向量共線定理找到向量的等式，再由三角形法則轉化為用

AB

和

AC

表達，即可找出λ和μ的關系．

解答：解：因為E、G、F三點共線，所以存在實數λ使

EG

=m

EF

連接AG交BC與點D，因為G是△ABC的重心，所以D為BC的中點，且AG=

2

3

AD，
所以

EG

=

AG

 -

AE

=

2

3

AD

-

AE

=

1

3

AB

+

1

3

AC

 -λ

AB

=(

1

3

-λ)

AB

+ 

1

3

AC

λ

EF

=m (

AE

-

AF

)  =mλ

AB

-mμ

AC

由平面向量基本定理得

1 3 -λ =mλ 1 3 =mμ

，消去m得

1

λ

+

1

μ

=3

點評：本題考查三點共線、向量共線的條件、向量的三角形法則和向量的表示等知識．抓住E、G、F三點共線，轉化為向量共線是解決本題的關鍵．