在三棱柱ABC－A1B1C1中，，BC=CA=AA1=a，A1在底面的射影O恰為AC的中點(diǎn)，求：

(1) AB與側(cè)面AC1所成的角；

(2) 側(cè)面AA1B1B和側(cè)面CC1A1A所成的角；

(3) 三棱柱的側(cè)面積和體積．

 

答案：
解析：

解：(1) AO⊥底面ABC，∴ 側(cè)面AC1⊥底面ABC．

∵ ，AC=BC=a，

∴ ∠ACB=90°，BC⊥AC．

∴ BC⊥平面AC1．

AC是AB在側(cè)面AC1的射影，∠BAC是AB與側(cè)面AC1所成的角．∠BAC=45°，

∴ AB與側(cè)面AC1所成的角為45°．

(2) 在側(cè)面AC1中作CE⊥A1A，E是垂足，連BE．

∵ BC⊥平面AC1，

∴ EC是EB在平面AC1的射影．

由三垂線定理得EB⊥AA1．

∴ ∠BEC是側(cè)面AA1B1B和側(cè)面CC1A1A所成的二面角的平面角．

在△A1AO中，AA1=AC=a，O是AC中點(diǎn)，

∴ △A1AO=60°．

在Rt△ACE中，

．

在Rt△BCE中，BC=a

，

即二面角B－AA1－C為．

(3) 解法1：△BEC是三棱柱ABC－A1B1C1的直截面．

，BC=a，

直截面周長

，

．

直截面面積

，

體積．

解法2：∵ BC⊥平面AC1，∴ BC⊥CC1

∴ 四邊形B1BCC1是矩形，面積S1=a2，

又平行四邊形A1ACC1的面積，

平行四邊形A1ABB1的面積．

則三棱柱的側(cè)面積

．

底面△ABC的面積，高，

則三棱柱的體積．

 


練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點(diǎn)，EA⊥EB1，已知AB=
2
，BB1=2，BC=1，∠BCC1=
π
3
，求：
（Ⅰ）異面直線AB與EB1的距離；
（Ⅱ）二面角A-EB1-A1的平面角的正切值．

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（I）求證：BO⊥平面AA1C1C；
（Ⅱ）求二面角B1-AC1-A1的大�。�

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3
的正三角形，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A1A⊥BC；
（2）當(dāng)側(cè)棱AA1和底面成45°角時(shí)，求二面角A1-AC-B的余弦值．

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（2013•四川）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)．
（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A1-QC1D的體積．（錐體體積公式：V=
13
Sh，其中S為底面面積，h為高）

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