Question

4．新學年伊始，某中學學生社團開始招新，某高一新生對“海濟公益社”、“理科學社”、“高音低調(diào)樂社”很感興趣，假設她能被這三個社團接受的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$．
（1）求此新生被兩個社團接受的概率；
（2）設此新生最終參加的社團數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）設事件A表示“此新生能被海濟公益社接受”，事件B表示“此新生能理科學社接受”，事件C表示“此新生能被高音低調(diào)樂社接受”，此新生被兩個社團接受的概率為：P（$AB\overline{C}$+A$\overline{B}$C+$\overline{A}BC$），由此能求出結果．
（2）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）設事件A表示“此新生能被海濟公益社接受”，事件B表示“此新生能理科學社接受”，
事件C表示“此新生能被高音低調(diào)樂社接受”，
則P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{1}{3}$，
∴此新生被兩個社團接受的概率為：
P（$AB\overline{C}$+A$\overline{B}$C+$\overline{A}BC$）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{12}$．
（2）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{24}$，
P（ξ=1）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{9}{24}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{10}{24}$．
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{3}{24}$，
∴ξ的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{24}$	$\frac{9}{24}$	$\frac{10}{24}$	$\frac{3}{24}$

E（X）=$0×\frac{2}{24}+1×\frac{9}{24}+2×\frac{10}{24}+3×\frac{3}{24}$=$\frac{19}{12}$．

點評 本題考查概率、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望、互斥事件概率計算公式、相互獨立事件概率概率乘法公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．