Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線的方程為，點(diǎn)在準(zhǔn)線上，縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，縱坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的方程；

（2）求證：直線恒與一個(gè)圓心在軸上的定圓相切，并求出圓的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）. 

【解析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系直接可求出拋物線方程.

(2) 由題意可知，，所以直線

即：.下面證明的關(guān)鍵是先設(shè)圓心在軸上，且與直線相切的圓的方程為,則圓心到直線的距離為

即：或,所以：或對(duì)于任意恒成立即可.

（1）設(shè)拋物線的方程為

因?yàn)闇?zhǔn)線的方程式，所以，因此拋物線的方程為--------5分

（2）由題意可知，，所以直線

即：------------------------7分

設(shè)圓心在軸上，且與直線相切的圓的方程為

則圓心到直線的距離為

即：或--------------------9分

所以：或對(duì)于任意恒成立.

即：或

解得: 因此直線恒與一個(gè)圓心在軸上的定圓相切，圓的方程為.     -----------------------------12分