Question

（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E、D，連結EC、CD.

（Ⅰ）求證：直線AB是⊙O的切線；
（Ⅱ）若tan∠CED=，⊙O的半徑為3，求OA的長.

Answer 1

分10分）
解：（Ⅰ）如圖，連接OC，∵OA=OB，CA=CB ∴OC⊥AB
∴AB是⊙O的切線…………4分
（Ⅱ）∵ED是直徑，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC
∴ ∴BC²=BD•BE
∵tan∠CED=,∴
∵△BCD∽△BEC, ∴…………8分
設BD=x,則BC=2x
又BC²=BD•BE，∴(2x)²=x•(x+6)
解得：x₁=0,x₂="2," ∵BD=x>0, ∴BD=2
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5…………10分

略