Question

設(shè)f^-1（x）是函數(shù)f(x)=ln(x+

x2+1

)的反函數(shù)，則使f^-1（x）＞1成立的x的取值范圍為

(ln(

2

+1)，+∞)

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f(x)=ln(x+

x2+1

)在R上是增函數(shù)，從而得出f^-1（x）也是在R上是增函數(shù)，設(shè)f^-1（a）=1，將不等式f^-1（x）＞1，轉(zhuǎn)化成f^-1（x）＞f^-1（

2

+1），再利用反函數(shù)的單調(diào)求解即得．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=ln(x+

x2+1

)在R上是增函數(shù)，
∴f^-1（x）也是在R上是增函數(shù)，
設(shè)f^-1（a）=1，則f（1）=a，∴a=ln（

2

+1），
則f^-1（x）＞1，即f^-1（x）＞f^-1（

2

+1），
∴x＞ln（

2

+1．
則使f^-1（x）＞1成立的x的取值范圍為 (ln(

2

+1)，+∞)
故答案為：(ln(

2

+1)，+∞)．

點(diǎn)評：本題主要考查反函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，求反函數(shù)的方法是：根據(jù)原函數(shù)的解析式利用y表示x，即孤立出x，再以x代替y，以y代替x的位置，即可得到原函數(shù)的反函數(shù)，原函數(shù)的定義域即為反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域即為反函數(shù)的定義域．但本題沒有去求反函數(shù)，而是利用了反函數(shù)的單調(diào)性，顯得簡潔．