Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，正數(shù)數(shù)列{b_n}中b₂=e，（e為自然對數(shù)的底≈2.718）且?n∈N^*總有2^n-1是S_n與a_n的等差中項，的等比中項．
（1）求證：?n∈N^*有；
（2）求證：?n∈N^*有．

Answer 1

解：（1）證明：∵2^n-1是S_n與a_n的等差中項，∴2ⁿ=S_n +a_n，∴S_n=2ⁿ-a_n，∴a₁=s₁=2-a₁，∴a₁=1．
由S_n=2ⁿ-a_n，可得 s_n+1=2ⁿ⁺¹-a_n+1，想減可得 a_n+1=s_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-a_n+1+a_n．
化簡可得 2a_n+1=2ⁿ+a_n．
變形可得 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n =4ⁿ，故數(shù)列{ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n }構(gòu)成等比數(shù)列，
故它的前n項和為 （ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n ）+（2ⁿa_n-2^n-1a_n-1）+…+（2²a₂-2a₁）=4ⁿ+4^n-1+…+4=，
即 a_n+1=，故 a_n=．
∴a_n+1-2ⁿ=（）＜0，a_n+1-a_n=（ ）-（）=（2ⁿ⁺¹-）＞0，
∴成立．
（2）證明：由（1）得的等比中項，∴b_n+1=b_n （b_n+1）．再由b₂=e，b_n＞0，∴b₁=．
∵a_n=，=2^n-1--≤2^n-1-1，
3a_n -1=3（）-1=-1＞2ⁿ-1．
要證，只要證 2^n-1-1＜lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1即可．
∵的等比中項，等價于 ．
∵4e＞8，∴b₁＞=1，b₁+1=＜e．
∴l(xiāng)nb₁＞ln1=0=2^1-1-1，lnb₁＜ln（b₁+1）＜1=2¹-1，故當n=1時，所證的不等式成立．
當n≥2時，＞，∴l(xiāng)nb_n+1＞2lnb_n．
∴l(xiāng)nb_n＞2lnb_n-1＞…＞2^n-2lnb₂=2^n-2．
∴l(xiāng)nb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-2=2^n-1-1≥．
再由 ln（b_n+1+1）=ln（+1）＜ln（ +1+b_n）=ln=2ln 可得
ln（b_n+1）＜2ln（b_n-1+1）＜2²ln（b_n-2+1）＜…＜2^n-1 ln（b₁+1）＜2^n-1．
∴l(xiāng)nb₁+lnb₂+…+lnb_n＜ln（b₁+1）+ln（b₂+1）+…+ln（b_n+1）＜1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1＜3a_n -1．
綜上所述，總有成立．
分析：（1）先由條件求出a₁=1，進而求出 a_n+1=，可得a_n=，根據(jù)a_n+1-2ⁿ ＜0，以及a_n+1-a_n ＞0，可得結(jié)論成立．
（2）先由（1）求出b₁=，再證明a_n ≤2^n-1-1，3a_n -1＞2ⁿ-1．要證不等式成立，只要證 2^n-1-1＜lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1 即可．先證當n=1時，
不等式成立，當n≥2時，用放縮法證明 lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-2=2^n-1-1≥．再用放縮法證明∴l(xiāng)nb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1＜3a_n -1，
從而證得要證的不等式成立．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)的應用，用放縮法證明不等式，數(shù)列與不等式的綜合應用，屬于難題．