Question

函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_n+1，n∈N^*，若a₁=16，則a₃+a₅=

 

，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

 

．

Answer 1

分析：首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到y(tǒng)′=2x，得到函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線的斜率是2a_n，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線的方程，求出切線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到數(shù)列遞推式，看出數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，寫出通項(xiàng)．

解答：解：∵對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到y(tǒng)′=2x
∴函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線的斜率是2a_n
∴在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線方程為：y-a_n²=2a_n（x-a_n），
∵切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_n+1，
當(dāng)y=0時(shí)，解得x=

1

2

an，
∴a_n+1=

1

2

a_n，
∴數(shù)列是一個(gè)公比為

1

2

的等比數(shù)列，
首項(xiàng)是16，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為16×(

1

2

)n-1=16×2^1-n=2^5-n
故答案為：2^5-n

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合，本題解題的關(guān)鍵是寫出數(shù)列遞推式，求出兩個(gè)項(xiàng)之間的關(guān)系，得到數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列．