如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ，為的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，在棱上存在點(diǎn)，使平面？

（1）分別取、的中點(diǎn)、，連接、．

以直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則、、的坐標(biāo)分別為（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），

 ∴=（-1，，2），=（-2，0，3）

設(shè)平面的法向量，

由得

，可取         …… 3分

平面的法向量可以取           

∴           …… 5分

∴平面與平面的夾角的余弦值為．                  ……6分

（2）在（1）的坐標(biāo)系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．

因在上，設(shè)，則

∴

于是平面的充要條件為

                                

由此解得，          

即當(dāng)=2時(shí)，在上存在靠近的第一個(gè)四等分點(diǎn)，使平面. ……12分

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

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5、如圖所示的幾何體是由一個(gè)正三棱錐P-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面染色（底面A1B1C1不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有（　�。�

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如圖所示的幾何體是由以正三角形ABC為底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O為AB的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，在棱DE上存在點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥
平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：OC⊥DF；
（2）試問(wèn)線段CE上是否存在一點(diǎn)P，使得OP∥平面DEF？若存在，求出CP的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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