Question

設(shè){a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，滿足S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：，n∈N^*，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，問(wèn)是否存在正整數(shù)n，使得T_n=2012成立？若存在，求出n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，且d≠0
∵S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，
∴
解得或（舍去）…（3分）
∴…（6分）
（II）由題知：=，
∴T_n=2²+2³+…+2^n-1+= …（10分）
若T_n=2012，則=2012，即n²+2ⁿ⁺³=4032
令f（n）=n²+2ⁿ⁺³，知f（n）單調(diào)遞增，
當(dāng)1≤n≤8時(shí)，f（n）≤8²+2¹¹=2112＜4032
當(dāng)n≥9時(shí)，f（n）≥9²+2¹²=4177＞4032，
故不存在正整數(shù)n，使得T_n=2012成立． …（14分）
分析：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，且d≠0，利用S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，建立方程組，求出基本量，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)；
（II）確定數(shù)列的通項(xiàng)，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，進(jìn)而可結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查基本量法的運(yùn)用，屬于中檔題．