Question

（2013•許昌三模）如圖，已知C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E為CH中點(diǎn)，連接AE并延長交BD于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)G．
（Ⅰ）求證：點(diǎn)F是BD中點(diǎn)；
（Ⅱ）求證：CG是圓O的切線．

Answer 1

分析：（1）由CH⊥AB，DB⊥AB，知△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，由此能夠證明點(diǎn)F是BD中點(diǎn)．
（2）連接CB、OC．由AB是直徑，知∠ACB=90°．由F是BD中點(diǎn)，知∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，由此能證明CG是⊙O的切線．

解答：（1）證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，
∴

EH

BF

=

AE

AF

=

CE

FD

．
又∵HE=EC，∴BF=FD，
故點(diǎn)F是BD中點(diǎn)．…（5分）
（2）證明：如圖，連接CB、OC．
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．
又∵F是BD中點(diǎn)，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA
=∠CAB=∠ACO，
∴∠OCF=90°，
∴CG是⊙O的切線．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查線段中點(diǎn)的證明，考查圓的切線的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相似三角形、與圓有關(guān)的比例線段的合理運(yùn)用．