Question

已知對任意平面向量

AB

=（x，y），把

AB

繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量：

AP

=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點P．
（1）已知平面內(nèi)點A（1，2），點B（-1，2-2

3

），把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)

π

3

后得到點P的坐標(biāo)是

 

．
（2）設(shè)平面內(nèi)曲線C：y=-

1

2x

上的每一點繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到的點的軌跡方程是：

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程,向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知求出

AB

的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，結(jié)合題目中定義即可列示求得P點坐標(biāo)；
（2）分別設(shè)出旋轉(zhuǎn)后得到的軌跡上的點的坐標(biāo)及原曲線上點的坐標(biāo)，結(jié)合題目中定義得到兩坐標(biāo)的關(guān)系，代入原曲線方程整理即可得到旋轉(zhuǎn)后的點的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵A（1，2），B（-1，2-2

3

），
∴

AB

=(-2，-2

3

)，

設(shè)P（x，y），則

AP

=(x-1，y-2)，
由題目中定義得：

(x-1)cos π 3 -(y-2)sin π 3 =-2 (x-1)sin π 3 +(y-2)cos π 3 =-2 3

．
解得：

x=-3 y=2

．
∴點P的坐標(biāo)是（-3，2）；
（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)后得到的軌跡上的點為（x，y），
原曲線C：y=-

1

2x

上的點為（x′，y′），
則

x=x′cos45°-y′sin45° y=x′sin45°+y′cos45°

，
解得：

x′= 2 2 x+ 2 2 y y′= 2 2 y- 2 2 x

．
代入y=-

1

2x

，得x′y′=-

1

2

，
即x²-y²=1．
故答案為：（1）（-3，2）；（2）x²-y²=1．

點評：本題是新定義題，考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了向量在幾何中的應(yīng)用，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．