Question

已知-

π

2

＜x＜0，sinx+cosx=

1

5

．
（Ⅰ）求sinx-cosx的值；
（Ⅱ）求

sin2x+2sin2x

1-tanx

的值．

Answer 1

分析：（1）通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求出（sinx-cosx）²的值，通過x的范圍求出結(jié)果即可．
（2）通過化簡表達式，直接利用（1）的結(jié)果求解即可．

解答：解：（1）由sinx+cosx=

1

5

，平方得sin²x+2sinxcosx+cos²x=

1

25

，
即2sinxcosx=-

24

25

∵（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=

49

25

又∵-

π

2

＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，
故sinx-cosx=-

7

5

…（6分）；
（2）

sin2x+2sin2x

1-tanx

=

2sinxcosx+2sin2x

1- sinx cosx

=

2sinxcosx(cosx+sinx)

cosx-sinx

=(-

24

25

)×

1

5

×

5

7

=-

24

175

…（12分）；

點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)的表達式化簡與求值，考查計算能力與整體代入的方法的應(yīng)用．