已知向量
OA
=
a
=(cosα，sinα)，
OC
=
c
=(0，2)
OB
=
b
=(2cosβ，2sinβ)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且0＜α＜
π
2
＜β＜π
（1）若
a
⊥(
b
-
a
)，求β-α的值；
（2）若
OB
•
OC
=2，
OA
•
OC
=
3
，求△OAB的面積S．
分析：（1）兩個(gè)向量垂直的充要條件是這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，將
a
和
b
-
a
用坐標(biāo)表示，求其數(shù)量積，再倒用兩交差的余弦公式即可
（2）由
OB
•
OC
=2，
OA
•
OC
=
3
，可得OA⊥OB，∴△OAB的面積為S=
1
2
|
OA
|•|
OB
|，求模代入即可
解答：解：（1）∵
a
⊥(
b
-
a
)∴
a
•(
b
-
a
)=0
∴2cosαcosβ+2sinαsinβ-1=0
即cos(α-β)=
1
2

∵0＜α＜
π
2
＜β＜π∴0＜β-α＜π∴β-α=
π
3

（2）∵
OB
•
OC
=2，
OA
•
OC
=
3

∴sinβ=
1
2
sinα=
3
2

∴cosβ=
3
2
cosα=
1
2

∴
OA
•
OB
=2cosαcosβ+2sinαsinβ=0
∴
OA
⊥
OB

∴S=
1
2
|
OA
|•|
OB
|=
1
2
×1×2=1
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和三角變換公式的應(yīng)用，解題時(shí)要耐心細(xì)致，認(rèn)真觀察
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
OA
=（3，-4），
OB
=（6，-3），
OC
=（5-m，-3-m）．
（1）若點(diǎn)A、B、C共線，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
OA
=a=(
2
cosα，
2
sinα)，
OB
=b=（2cosβ，2sinβ），其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且
π
6
≤α＜
π
2
＜β≤
5π
6
．
（1）若
a
⊥（
b
-
a
），求β-α的值；
（2）當(dāng)
a
•（
b
-
a
）取最小值時(shí)，求△OAB的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
OA
=a=(
2
cosα，
2
sinα)，
OB
=b=（2cosβ，2sinβ），其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且
π
6
≤α＜
π
2
＜β≤
5π
6
．
（1）若
a
⊥（
b
-
a
），求β-α的值；
（2）當(dāng)
a
•（
b
-
a
）取最小值時(shí)，求△OAB的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
OA
=
a
=(cosα，sinα)，
OC
=
c
=(0，2)
OB
=
b
=(2cosβ，2sinβ)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且0＜α＜
π
2
＜β＜π
（1）若
a
⊥(
b
-
a
)，求β-α的值；
（2）若
OB
•
OC
=2，
OA
•
OC
=
3
，求△OAB的面積S．

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