Question

設F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C為橢圓上異于B一點，且，求λ的值；
（Ⅲ）設P是該橢圓上的一個動點，求△PBF₁的周長的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）易知，所以，，
設P（x，y），則
=．
因為x∈[-2，2]，故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值-2．
當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值1．
（Ⅱ）設C（x₀，y₀），B（0，-1），，由，得 ，
又 ，所以有 λ²+6λ-7=0，解得λ=-7，（λ=1＞0舍去）．
（Ⅲ） 因為|PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，∴△PBF₁的周長≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．
所以當P點位于直線BF₂與橢圓的交點處時，△PBF₁周長最大，最大值為8．
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的方程，求出焦點的坐標，化簡的 解析式為，結(jié)合x∈[-2，2]，求得它的最值．
（Ⅱ）設C（x₀，y₀），由，用λ 表示 x₀，y₀，把C（x₀，y₀）代入橢圓的方程求得λ值．
（Ⅲ） 因為|PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，可得△PBF₁的周長≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．
點評：本題考查橢圓的定義、標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，兩個向量的數(shù)量積公式，解得λ=-7把λ=1＞0舍去，是解題的易錯點．