Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：
①對(duì)任意x∈R，都有f（x+1）=-f（x）
②當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=x，試解決下列問題：
（Ⅰ）求在x∈（2，4]時(shí)，f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（x+1）=-f（x）可求得f（x+2）=-f（x），進(jìn)而根據(jù)x∈（0，1]時(shí)，f（x）的解析式求得x∈（2，3]時(shí)和x∈（3，4]的解析式，最后綜合可求得在x∈（2，4]時(shí)，f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上的實(shí)數(shù)解為x₀，利用（Ⅰ）中函數(shù)的解析式，建立不等式組，進(jìn)而求得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵對(duì)任意x∈R，都有f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），
又x∈（0，1]時(shí)，∴f（x）=x
∴當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，x-2∈（0，1]，f（x）=f（x-2）=x-2
當(dāng)x∈（3，4]時(shí)，x-1∈（2，3]，f（x）=-f（x-1）=-[（x-1）-2]=3-x
∴x∈（2，4]時(shí)，f（x）=

x-2，2＜x≤3 3-x，3＜x≤4

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上的實(shí)數(shù)解為x₀
則

x0-2=2x0+m 2＜x0≤3

或

3-x0=2x0+m 3＜x0≤4

∴

x0=-2-m 2＜x0≤3

或

x0=1- m 3 3＜x0≤4

∴-5≤m＜-4或-9≤m＜-6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的推理能力．