Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），l為過(guò)C的焦點(diǎn)F且傾斜角為α的直線．設(shè)l與C交于A、B兩點(diǎn)，A與坐標(biāo)原點(diǎn)連線交C準(zhǔn)線于D點(diǎn)．證明：BD⊥y軸．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：證明題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線方程為x=my+

p

2

，與拋物線方程消去x，利用韋達(dá)定理可得y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，由A與坐標(biāo)原點(diǎn)連線交C準(zhǔn)線于D點(diǎn)，求出D的縱坐標(biāo)，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：設(shè)直線方程為x=my+

p

2

，
與拋物線方程消去x，得y²-2pmy-p²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
直線OA的方程為y=

y1

x1

x，
x=-

p

2

時(shí)，y=-

y1

x1

•

p

2

=y₂，
∴B，D的縱坐標(biāo)相等，
∴BD⊥y軸；
（2）解：

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+

pm

2

（y₁+y₂）+

p2

4

=-

3

4

p2

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．