Question

已知雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求雙曲線的方程，并求其漸近線方程．

Answer 1

分析：橢圓

x2

27

+

y2

36

=1，故有焦點(diǎn)為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），由此設(shè)出雙曲線的方程，再由雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求出此點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將此點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出參數(shù)即得雙曲線方程，再由其性質(zhì)求漸近線方程即可

解答：解：因?yàn)闄E圓

x2

27

+

y2

36

=1的焦點(diǎn)為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
故可設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，且c=3，a2+b2=9．
由題設(shè)可知雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，將y=4代入橢圓方程得雙曲線與橢圓的交點(diǎn)為(

15

，4)，(-

15

，4)，因?yàn)辄c(diǎn)(

15

，4)[或(-

15

，4)]在雙曲線上，所以有

16

a2

-

15

b2

=1．

解方程組 a2+b2=9 16 a2 - 15 b2 =1. 得 a2=4 b2=5. 故所求雙曲線的方程為 y2 4 - x2 5 =1. 又a2=4，b2=5，則a=2，b= 5 ， 所以雙曲線的漸近線方程為y=± a b x=± 2 5 5 x.

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是兩者共同的特征設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題時(shí)要善于抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)．