Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，求f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意知f（x）的定義域為（0，+∞）
當(dāng)a=0時，f（x）=2lnx+，f′（x）=-=
令f′（x）=0，解得x=當(dāng)0＜x＜時，f′（x）＜0；
當(dāng)x≥時，f′（x）＞0
又∵f（）=2-ln2
∴f（x）的極小值為2-2ln2，無極大值

（Ⅱ）f′（x）=-+2a=
當(dāng)a＜-2時，-＜，令f′（x）＜0，得0＜x＜-或x＞，
令f′（x）＞0得-＜x＜
當(dāng)-2＜a＜0時，得-＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞-；
令f′（x）＞0得＜x＜-；
當(dāng)a=-2時，f′（x）=-≤0
綜上所述，當(dāng)a＜-2時f（x），的遞減區(qū)間為（0，-）和（．+∞），遞增區(qū)間為（-，）；
當(dāng)a=-2時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)-2＜a＜0時，f（x）的遞減區(qū)間為（0，）和（-，+∞），遞增區(qū)間為（，-）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)a∈（-3，-2）時，f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減．
當(dāng)x=1時，f（x）取最大值；當(dāng)x=3時，f（x）取最小值；
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3++6a]=-4a+（a-2）ln3
∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，∴（m+ln3）a-2ln3＞-4a+（a-2）ln3
整理得ma＞-4a，∵a＜0，∴m＜-4恒成立，∵-3＜a＜-2，
∴-＜-4＜-，∴m≤-
分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=2lnx+，求導(dǎo)，令f′（x）=0，解方程，分析導(dǎo)數(shù)的變化情況，確定函數(shù)的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，求導(dǎo)，對導(dǎo)數(shù)因式分解，比較兩根的大小，確定函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求實數(shù)m的取值范圍．
點評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和最值問題，在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，體現(xiàn)了分類討論的思想方法；恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．屬難題．