Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且當0≤x≤1時，f（x）=x²．若直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有三個交點，則a的取值范圍為（　　）

• A．（-

  1

  4

  ，0）
• B．（-

  1

  2

  ，0）
• C．（2k-

  1

  4

  ，2k）（k∈Z）
• D．（k-

  1

  2

  ，k）（k∈Z）

Answer 1

分析：先求出-1≤x≤0時f（x）的解析式，即得x∈[-1，1]時f（x）的解析式，再據(jù)周期性可得 x∈[2k-1，2k+1]時f（x）的解析式，如圖，直線y=x+a的斜率為1，在y軸上的截距等于a，故直線過頂點或與曲線相切時，從而可求a的范圍

解答：解：由函數(shù)為偶函數(shù)可得f（-x）=f（x）
由f（x）的圖象關于直線x=1對稱可得f（2+x）=f（-x′）
∴f（x）=f（x+2），即函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，
∵當0≤x≤1時，f（x）=x²．
設-1≤x≤0，則0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²=x²，=f（x）
x∈[-1，1]，f（x）=x²
∴x∈[2k-1，2k+1]，f（x）=（x-2k）²其圖象如圖所示
由于直線y=x+a的斜率為1，在y軸上的截距等于a，在一個周期[-1，1]上，
a=0時直線與曲線只要2個交點，a=-

1

4

時，在此周期上直線和曲線相切并和曲線在下一個區(qū)間上圖象有一個交點． 由于f（x）的周期為2
故在定義域內，滿足條件的a 應是[2k+0，2k-

1

4

]k∈Z．
故選：C

點評：本題主要考查了函數(shù)的周期性、奇偶性、函數(shù)的解析式的求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用．