Question

1．設坐標平面上全部向量集合為A，已知由A到A的映射f由f（x）=x-2（x•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$確定，其中x∈A，$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），θ∈R．
（1）當θ的取值范圍變化時，f[f（x）]是否變化？試說明你的理由；
（2）若|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，f[f（$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$）]與f（f（2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）]垂直，求$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角．

Answer 1

分析 （1）將f（f（x））進行化簡，看結(jié)果是否含有θ；
（2）利用第一問結(jié)論脫函數(shù)符號進行計算．

解答 解：（1）f（f（x））=x-2（x•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$-2[（x-2（x•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$）$•\overrightarrow{a}$]$\overrightarrow{a}$=x-2（x•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$-2[x$•\overrightarrow{a}$-2（x$•\overrightarrow{a}$）]$\overrightarrow{a}$=x-2（x•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$+2（x$•\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{a}$=x，
∴當θ的取值范圍變化時，f（f（x））不發(fā)生變化．
（2）∵f[f（$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$）]=$\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}$，f（f（2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）]=2$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}$⊥2$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$，
即（$\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}$）•（2$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$）=0，∴2$\overrightarrow{m}$²-3$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$-2$\overrightarrow{n}$²=0，解得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{5}{2}$，
設$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$夾角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=1．∴$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的運算化簡及數(shù)量積運算，注意|$\overrightarrow{a}$|=1是關(guān)鍵．