Question

若不等式x+2

2xy

≤a（x+y） 對一切正數(shù)x、y恒成立，則正數(shù)a的最小值為（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  2

  +

  1

  2

• D．2

  2

  +1

Answer 1

分析：不等式x+2

2xy

≤a（x+y） 對一切正數(shù)x、y恒成立，可得a≥(

x+2 2xy

x+y

)max．令f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0．令

y

x

=t＞0，則g（t）=

1+2 2 t

1+t2

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答：解：∵不等式x+2

2xy

≤a（x+y） 對一切正數(shù)x、y恒成立，∴a≥(

x+2 2xy

x+y

)max．
令f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0．
令

y

x

=t＞0，則g（t）=

1+2 2 t

1+t2

，g′(t)=

2 2 (1+t2)-(1+2 2 t)•2t

(1+t2)2

=

-2( 2 t2+t- 2 )

(1+t2)2

=

-2( 2 t-1)(t+ 2 )

(1+t2)2

，
令g′（t）=0，解得t=

2

2

，可知當(dāng)t=

2

2

時，g（t）取得極大值即最大值，
g（t）=

1+2 2 × 2 2

1+( 2 2 )2

=2．
∴a≥2．
故a的最小值為2．
故選B．

點評：本題考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．