Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)（c，0）是它的右焦點(diǎn)，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與橢圓相交于點(diǎn)A、B且

FA

•

FB

=0，|AB|=2|FA|，則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  2

  -1
• B、

  2

  2

• C、

  3

  -1
• D、

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先由向量的數(shù)量積為零得：三角形ABF是直角三角形，再結(jié)合線段的關(guān)系及O為中點(diǎn)，得出△FAO為等邊三角形，從而△AFF₁為直角三角形（F₁為橢圓的左焦點(diǎn)），最后在Rt△AFF₁中，利用邊之間的關(guān)系結(jié)合橢圓的定義得到a，c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率．

解答： 解：由題意知：

FA

•

FB

=0，則三角形ABF是直角三角形，
∵|AB|=2|FA|，O是AB的中點(diǎn)，
∴△FAO為等邊三角形，
則AO=FO，且O為兩個(gè)焦點(diǎn)的中點(diǎn)，
故△AFF₁為直角三角形（F₁為橢圓的左焦點(diǎn)），
在Rt△AFF₁中，AF=c，F(xiàn)F₁=2c，∴AF₁=

3

c，
∵AF+AF₁=2a，∴c+

3

c=2a，
則橢圓的離心率e=

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓離心率的求法，橢圓的定義，以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，在橢圓中一定要熟練掌握a，b，c之間的關(guān)系、離心率等基本性質(zhì)．