Question

若log_a6•log₆7•log₇8=-3，設(shè)函數(shù)f（x）=-a^2x+4a^x+5
（1）求a的值；
（2）當x≥-2時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）當x∈R時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

解：（1）∵log_a6•log₆7•log₇8=-3，∴，∴．，∴l(xiāng)ga=-lg2，∴；
（2）∵，可設(shè)，又x≥-2，∴0＜=4．
從而函數(shù)f（x）=-a^2x+4a^x+5可化為f（t）=-t²+4t+5=-（t-2）²+9，t∈（0，4]．
可知f（t）在（0，2]上單調(diào)遞增，∴5＜f（t）≤9；
在[2，4]上單調(diào)遞減，∴5≤f（t）≤9；
∴f（t）的值域為[5，9]．
即函數(shù)f（x）的值域為[5，9]．
（3）當x∈（-∞，-1]時，t=單調(diào)遞減且值域為[2，+∞），
而函數(shù)f（t）=-（t-2）²+9在t∈[2，+∞）上單調(diào)遞減，
故函數(shù)f（x）在x∈（-∞，-1]上單調(diào)遞增，
因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]．
分析：（1）利用對數(shù)的換底公式即可求出；
（2）通過換元利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可解決；
（3）利用指數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性及換元法即可求出．
點評：熟練掌握對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)和利用換元法解決二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．