Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），點M是橢圓上任意一點，△MF₁F₂的周長是2$\sqrt{2}$+2，且△MF₁F₂面積的最大值是1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若N是橢圓上一點，點M，N不重合，O為坐標原點，當直線MN的斜率為2時，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由點M是橢圓上任意一點，△MF₁F₂的周長是2$\sqrt{2}$+2，且△MF₁F₂面積的最大值是1．可得$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=2\sqrt{2}+2}\\{\frac{1}{2}×2c×b=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）設(shè)直線MN的方程為：y=2x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得：9x²+8mx+2m²-2=0，△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|MN|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．原點到直線MN的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$，可得S_△OMN=$\frac{1}{2}|MN|$d，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵點M是橢圓上任意一點，△MF₁F₂的周長是2$\sqrt{2}$+2，且△MF₁F₂面積的最大值是1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=2\sqrt{2}+2}\\{\frac{1}{2}×2c×b=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)直線MN的方程為：y=2x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為：9x²+8mx+2m²-2=0，
△＞0，可得：m²＜9．
∴x₁+x₂=$\frac{-8m}{9}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{9}$，
∴|MN|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5[\frac{64{m}^{2}}{81}-\frac{4（2{m}^{2}-2）}{9}]}$=$\frac{2\sqrt{5（18-2{m}^{2}）}}{9}$．
原點到直線MN的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$，
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}|MN|$d=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5（18-2{m}^{2}）}}{9}$×$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}（18-2{m}^{2}）}}{9}$$≤\frac{\sqrt{\frac{1}{2}（\frac{2{m}^{2}+18-2{m}^{2}}{2}）^{2}}}{9}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當且僅當m=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時取等號．
∴△OMN面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．