Question

16．（1）求證：動(dòng)直線（m²+2m+3）x+（1+m-m²）y+3m²+1=0（其中m∈R）恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求經(jīng)過(guò)兩條直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x+4y-7=0的直線方程．

Answer 1

分析 （1）動(dòng)直線（m²+2m+3）x+（1+m-m²）y+3m²+1=0，化為：（x-y+3）m²+（2x+y）m+3x+y+1=0①，由于對(duì)于任意m為R，上式要成立，那么m²和m的系數(shù)必須為零，即可得出結(jié)論；
（2）求出直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點(diǎn)，由已知垂直關(guān)系可求得所求直線的斜率為$\frac{4}{3}$，進(jìn)而得所求直線方程．

解答 （1）證明：動(dòng)直線（m²+2m+3）x+（1+m-m²）y+3m²+1=0，化為：（x-y+3）m²+（2x+y）m+3x+y+1=0①
由于對(duì)于任意m為R，上式要成立，那么m²和m的系數(shù)必須為零，那么有x-y+3=0且2x+y=0
解方程得：x=-1，y=2
把x=-1，y=2代入①中的常數(shù)項(xiàng)得常數(shù)項(xiàng)也為0，
所以這時(shí)有對(duì)于任意m為R，①成立，也就是原式成立，也就是過(guò)定點(diǎn)此時(shí)x=-1，y=2，即為定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）解：解得直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點(diǎn)為（-$\frac{5}{3}$.$\frac{7}{9}$），由已知垂直關(guān)系可求得所求直線的斜率為$\frac{4}{3}$，進(jìn)而得所求直線方程為4x-3y+9=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線過(guò)定點(diǎn)，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．