Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=10，a₂為整數(shù)，且在前n項(xiàng)和中S₄最大．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

13-an

3n+1

，n∈N^*．
（1）求證：b_n+1＜b_n≤

1

3

； 
（2）求數(shù)列{b_2n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意先求得d=-3，即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）（1）因?yàn)?span id="pbxbnxz" class="MathJye">bn+1-bn=

1-2n

3n+1

＜0，且{b_n}的最大項(xiàng)為b1=

1

3

，即可證明：b_n+1＜b_n≤

1

3

； 
（2）Tn=

2

9

+

4

92

+

6

93

+…

2n

9n

，則可得

8Tn

9

=

2

91

+

2

92

+

2

93

+…+

2n

9n+1

，從而由等比數(shù)列的求和公式可得數(shù)列{b_2n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由a₁=10，a₂為整數(shù)知，等差數(shù)列{a_n}的公差d為整數(shù)，
又S_n≤S₄，故a₄≥0，a₅≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，
解得-

10

3

≤d≤-

5

2

，
因此d=-3，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=13-3n．
（Ⅱ）（1）由題意知bn=

3n

3n+1

=

n

3n

，∴bn+1-bn=

1-2n

3n+1

＜0，
∴數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，{b_n}的最大項(xiàng)為b1=

1

3

，所以b_n+1＜b_n≤

1

3

．
（2）Tn=

2

9

+

4

92

+

6

93

+…

2n

9n

，

1

9

T_n=

2

92

+

4

93

+

6

94

+…+

2n

9n+1

，
兩式相減得：

8Tn

9

=

2

91

+

2

92

+

2

93

+…+

2n

9n+1

，
=

2 9 (1-( 1 9 )n)

1- 1 9

-

2n

9n+1

=

1-( 1 9 )n

4

-

2n

9n+1

∴Tn=

9

32

-

9+8n

32•9n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列和的求法，考查學(xué)生對(duì)裂項(xiàng)相消求和的能力及運(yùn)算能力，屬中檔題．