已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).

(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)；

(2)求證：函數(shù)y=F(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(,0)成中心對稱圖形.

思路分析：(1)證明函數(shù)F(x)的單調(diào)性要用到函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(,0)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)y=F(x)圖像上即可.

解：(1)設(shè)x1、x2∈R，且x1＜x2，則

F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］

=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-(a-x1)］.

又∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，x1＜x2，

∴a-x2＜a-x1.

∴f(x1)＜f(x2).∴f(a-x2)＜f(a-x1).

∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］＜0.

∴F(x1)＜F(x2).

∴F(x)是R上的增函數(shù).

(2)設(shè)點(diǎn)M(x0,F(x0))是函數(shù)F(x)圖像上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M(x0,F(x0))關(guān)于點(diǎn)(,0)的對稱點(diǎn)M′(a-x0,-F(x0)).

又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f［a-(a-x0)］

=f(a-x0)-f(x0)

=-［f(x0)-f(a-x0)］

=-F(x0),

∴點(diǎn)M′(a-x0,-F(x0))也在函數(shù)F(x)圖像上.

又∵點(diǎn)M(x0,F(x0))是函數(shù)F(x)圖像上任意一點(diǎn)，

∴函數(shù)y=F(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(,0)成中心對稱圖形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),a、b∈R.

(1)證明命題“如果a+b≥0,那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)成立”;

(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立,并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,則f(2 006)的值為(    )

A.2            B.0            C.-2            D.±2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A（0，-1）、B（3，1）是其圖象上的兩點(diǎn)，那么|f(x+1)|＜1的解集是(    )

A.（1，4）                                B.（-1，2）

C.（-∞,1]∪［4,+∞)                  D.(-∞,-1］∪［2,+∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(1)=m，f(3)=n，m+n＞0，則(    )

A．f(3)＞f(-1)                           B．f(3)＜f(-1)

C．f(3)=f(-1)                            D．f(3)與f(-1)的大小無法確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆黑龍江省高一期末考試文科數(shù)學(xué) 題型：選擇題

已知函數(shù)f(X)是R上的增函數(shù), A(0,-1) ，B（3，1）是其圖象上的兩點(diǎn)，那么＜1的解集的補(bǔ)集是（     ）

    A．（-1，2）  B.(1, 4)  C.(-∞,－1)∪〔4, +∞)    D. (-∞,－1〕∪〔2, +∞)

 

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