在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．
（1）x2＝2y   （2）存在，M(，1)
(1)依題意知F(0，)，圓心Q在線段OF的垂直平分線y＝上，
因為拋物線C的準線方程為y＝－，
所以＝，即p＝1.
因此拋物線C的方程為x2＝2y.
(2)假設存在點M(x0，)(x0>0)滿足條件，拋物線C在點M處的切線斜率為y′|x＝x0＝()′|x＝x0＝x0，
所以直線MQ的方程為y－＝x0(x－x0)．
令y＝得xQ＝＋，
所以Q(＋，)．
又|QM|＝|OQ|，
故(－)2＋(－)2＝(＋)2＋，
因此(－)2＝.
又x0>0，所以x0＝，此時M(，1)．
故存在點M(，1)，使得直線MQ與拋物線C相切于點M.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（已知拋物線（）的準線與軸交于點．
（1）求拋物線的方程，并寫出焦點坐標；
（2）是否存在過焦點的直線（直線與拋物線交于點，），使得三角形的面積？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求·的取值范圍;
(3)若B點關于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

曲線C是平面內與兩個定點F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點的軌跡．給出下列三個結論：
①曲線C過坐標原點；
②曲線C關于坐標原點對稱；
③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2．
其中，所有正確結論的序號是________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為,離心率,是橢圓上的動點．
（1）求橢圓標準方程；
（2）若直線與的斜率乘積,動點滿足,（其中實數(shù)為常數(shù)）．問是否存在兩個定點,使得？若存在,求的坐標及的值；若不存在,說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過點與拋物線有且只有一個交點的直線有（  ）
A．4條　　　　B．3條　　　C．2條　　D．1條

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為,短軸端點分別為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若,是橢圓上關于軸對稱的兩個不同點，直線與軸交于點，判斷以線段為直徑的圓是否過點，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知、為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過的直線與橢圓交于、兩點，過與平行的直線與橢圓交于、兩點，求四邊形的面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

拋物線的焦點為F，過F作直線交拋物線于A、B兩點，設則（  ）
A．4       B．8       C．       D．1

查看答案和解析>>

同步練習冊答案