Question

已知：sin 2300+sin 2900+sin 21500=

3

2

，sin 250+sin 2650+sin 21250=

3

2

．觀察上述兩式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出對(duì)任意角α都成立的一般性命題并證明．

Answer 1

分析：觀察上式的兩式，猜想得到sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

，理由為：先將等式左邊三項(xiàng)分別利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，得到其值等于等式右邊的值，得證．

解答：解：猜想sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

，理由為：
證明：等式左邊=

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

+

1-cos(2α+240°)

2

=

1

2

+

1

2

+

1

2

-

1

2

[cos2α+cos（2α+120°）+cos（2α+240°）]
=

3

2

-

1

2

（cos2α-

1

2

cos2α-

3

2

sin2α-

1

2

cos2α+

3

2

sin2α）
=

3

2

=右邊，
則sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．