已知點的序列An（xn，0），n∈N，其中，x1=0，x2=a（a＞0），A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，…，An是線段An－2An－1的中點，……

（Ⅰ）寫出xn與xn－1、xn－2之間的關系式（n≥3）；

（Ⅱ）設an=xn＋1－xn計算a1，a2，a3，由此推測數(shù)列｛an｝的通項公式，并加以證明；

（Ⅲ）求xn．

 

答案：
解析：

（Ⅰ）解：當n≥3時，xn=．

（Ⅱ）解：a1=x2－x1=a，a2=x3－x2=

由此推測an=（）n－1a（n∈N*）.

用數(shù)學歸納法證明.

（ⅰ）當n=1時，a1=x2－x1=a=（）0a，公式成立．

（ⅱ）假設當n=k時，公式成立，即ak=（）k－1a成立.

那么當n=k＋1時，

，公式仍成立．

根據（ⅰ）與（ⅱ）可知，對任意n∈N，公式an=（）n－1a成立．

（Ⅲ）解：當n≥3時，有xn=（xn－xn－1）＋（xn－1－xn－2）＋…＋（x2－x1）＋x1

=an－1＋an－2＋…＋a1，

由（Ⅱ）知｛an｝是公比為的等比數(shù)列，∴．

 


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(1)寫出xn與xn－1、xn－2之間的關系(n≥3)；

(2)設an＝xn+1－xn，計算a1，a2，a3，由此推測數(shù)列{an}的通項公式，并加以證明

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(1)寫出xn與x、x之間的關系式(n≥3)；

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（Ⅱ）設an＝x n＋1－xn，計算a1，a2，a3，由此推測數(shù)列｛an｝的通項公式，并加以證明；

 

（Ⅲ）求xn.

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