Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n•a_n-1=2a_n-1-1
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求證：數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算可得結(jié)論；
（2）易知a_n-1≠0，可得an=2-

1

an-1

，從而可得數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列，即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：（1）解：∵a_n•a_n-1=2a_n-1-1，a₁=3
∴a₂a₁=2a₁-1，∴a2=

5

3

同理a3=

7

5

，a4=

9

7

___________________________（3分）
（2）證明：易知a_n-1≠0，所以an=2-

1

an-1

_____________________（4分）
當(dāng)n≥2時，

1

an-1

-

1

an-1-1

=

1

(2- 1 an-1 )-1

-

1

an-1-1

=

1

1- 1 an-1

-

1

an-1-1

=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1
所以數(shù)列{

1

an-1

}是以

1

2

為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列_________（8分）
（3）解：由（2）知

1

an-1

=

1

2

+(n-1)•1=n-

1

2

__________________（10分）
所以an=

2

2n-1

+1=

2n+1

2n-1

__________________________（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．