Question

設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為e，A為橢圓上一點(diǎn)，弦AB，AC分別過焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，試用α，β表示橢圓的離心率e；
（II）設(shè)=λ₁，=λ₂，當(dāng)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

解：（I）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得
==，
即|AF₁|=，|AF₂|=，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=+，
=2c（+）=2c•，
得e=．
（II）設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①當(dāng)y₀=0時(shí)，λ₁+λ₂=2=；當(dāng)AB或AC與x軸垂直時(shí)，λ₁+λ₂=．
②當(dāng)AB，AC都不與x軸垂直且y₀≠0時(shí)，AC的方程為y=（x-c），
由，
消x得[b²（x₀-c）²+a²y₀²]y²+2b²y₀（x₀-c）y+c²b²y₀²-a²b²y₀²=0．
由韋達(dá)定理得 y₂y₀=，
所以y₂=，
所以 λ₂==-=-，
同理可得λ₁==-=-，
故λ₁+λ₂=．
分析：（I）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得==，由此能求出e=．
（II）設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．當(dāng)y₀=0時(shí)，λ₁+λ₂=2=；當(dāng)AB或AC與x軸垂直時(shí)，λ₁+λ₂=．．當(dāng)AB，AC都不與x軸垂直且y₀≠0時(shí)，AC的方程為y=（x-c），由此能證明λ₁+λ₂=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．