Question

8．已知橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（$\sqrt{6}$，1）和（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），求橢圓的方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．

Answer 1

分析 對(duì)焦點(diǎn)分類(lèi)討論，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入解出a²，b²，c²=a²-b²，進(jìn)而得出．

解答 解：（1）設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，則可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
把（$\sqrt{6}$，1）和（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），代入可得：$\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}$=1，解得a²=9，b²=3，c²=a²-b²=6．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±3，0），$（0，±\sqrt{3}）$，焦點(diǎn)坐標(biāo)為$（±\sqrt{6}，0）$，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）設(shè)焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
把（$\sqrt{6}$，1）和（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），代入，無(wú)解．
綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±3，0），$（0，±\sqrt{3}）$，焦點(diǎn)坐標(biāo)為$（±\sqrt{6}，0）$，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．