Question

國(guó)際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉．已知某種鉆石的價(jià)值v（美元）與其重量w（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價(jià)值為54000美元．
（Ⅰ）若把一顆鉆石切割成重量比為1：3的兩顆鉆石，求價(jià)值損失的百分率；
（Ⅱ）試用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時(shí)，按重量比為1：1切割，價(jià)值損失的百分率最大．
（注：價(jià)值損失的百分率=

原有價(jià)值-現(xiàn)有價(jià)值

原有價(jià)值

×100%；在切割過程中的重量損耗忽略不計(jì)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由題意可設(shè)價(jià)值與重量的關(guān)系式為：y=kx²，再根據(jù)3克拉的價(jià)值是54000美元求得k值，即可求得此鉆石的價(jià)值與重量的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）解法一：若把一顆鉆石按重量比為m：n切割成兩顆，確定價(jià)值損失的百分率，利用基本不等式可得結(jié)論；
解法二：設(shè)一顆鉆石切割成兩顆，其重量比為1：x，確定價(jià)值損失的百分率，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）依題意設(shè)v=kw²，又當(dāng)w=3時(shí)，v=54000，∴k=6000，故v=kw²=6000w²．…（4分）
設(shè)這顆鉆石的重量為a克拉，則按重量比為1：3切割后的價(jià)值為6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2．
價(jià)值損失為6000a2-[6000(

1

4

a)2+6000(

3

4

a)2]．
價(jià)值損失的百分率為

6000a2-[6000( 1 4 a)2+6000( 3 4 a)2]

6000a2

=0.375=37.5%
答：價(jià)值損失的百分率為37.5%．…（8分）
（Ⅱ）解法一：若把一顆鉆石按重量比為m：n切割成兩顆，價(jià)值損失的百分率應(yīng)為1-[(

m

m+n

)2+(

n

m+n

)2]=

2mn

(m+n)2

，又

2mn

(m+n)2

≤

2•( m+n 2 )2

(m+n)2

=

1

2

，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)成立．即重量比為1：1時(shí)，價(jià)值損失的百分率達(dá)到最大…（13分）
解法二：設(shè)一顆鉆石切割成兩顆，其重量比為1：x，則價(jià)值損失的百分率為1-[(

1

1+x

)2+(

x

1+x

)2]=

2x

x2+2x+1

，
又x＞0，∴x²+1≥2x，故

2x

x2+2x+1

≤

2x

2x+2x

=

1

2

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立．故當(dāng)重量比為1：1時(shí)，價(jià)值損失的百分率達(dá)到最大…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于中檔題．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．