Question

已知A、B是△ABC的兩個內(nèi)角，且tanA、tanB是方程x²+mx+m+1=0的兩個實根，求m的取值范圍

Answer 1

【答案】分析：由tanA、tanB是方程x²+mx+m+1=0的兩個實根，結(jié)合韋達定理（一元二次方程根現(xiàn)系數(shù)關(guān)系）我們得到tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，代入兩角和的正切公式，結(jié)合A、B是△ABC的兩個內(nèi)角，易得到A+B的大小，進而給出A，B的取值范圍，進而得到方程兩根的取值范圍，后續(xù)有兩種思路：
解法一：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+mx+m+1，則函數(shù)的兩個零點均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于m的不等式組可以求出滿足條件的m的范圍．
解法二：由x²+mx+m+1=0，將-m表示為=然后利用“對勾”函數(shù)的單調(diào)性進行解答．
解答：解法一：依題意有，tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，
∴tan（A+B）===1
∵從而，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）
即方程x²+mx+m+1=0的兩個實根均在（0，1）內(nèi)
設(shè)f（x）=x²+mx+m+1，則函數(shù)f（x）與x軸有兩個交點，且交點在（0，1）內(nèi)；
又函數(shù)f（x）的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸方程為，
故其圖象滿足

即
解得，
故所求m的范圍是
解法二：依題意有，tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，
∴tan（A+B）===1
∵從而，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）
即方程x²+mx+m+1=0的兩個實根均在（0，1）內(nèi)
則x²+mx+m+1=0得-m（x+1）=x²+1
即
=；
故所求m的范圍是
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的零點，韋達定理（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系），兩角和的正切公式，其中利用韋達定理及兩角和的正切公式，確定方程兩個根的范圍是解答的關(guān)鍵．