(本小題滿分13分) 設(shè)橢圓E中心在原點,焦點在x軸上,短軸長為4,點M(2,)在橢圓上,。
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)動直線L交橢圓E于A、B兩點,且,求△OAB的面積的取值范圍。
(1);(2)S。
解析試題分析:(1)因為橢圓E: (a>b>0)過M(2,) ,2b=4
故可求得b=2,a=2 橢圓E的方程為 ……2分
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)直線L斜率存在時設(shè)方程為,
解方程組得,即,
則△=,
即(*)……………………4分
,要使,需使,即,
所以, 即 ①………………………7分
將它代入(*)式可得……………………………8分
P到L的距離為
又
將及韋達定理代入可得……………………10分
當(dāng)時
由 故……………12分
當(dāng)時,
當(dāng)AB的斜率不存在時, ,
綜上S……………………………13分
考點:本題主要考查橢圓標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系。
點評:求橢圓的標準方程是解析幾何的基本問題,涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題,常常運用韋達定理,本題屬于中檔題。
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(本小題滿分12分)
拋物線的頂點在原點,焦點在x軸的正半軸上,直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點,
且。
(1) 求拋物線方程;
(2) 在x軸上是否存在一點C,使得三角形ABC是正三角形? 若存在,求出點C的坐標,若不存在,說明理由.
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(本小題滿分12分)
過拋物線焦點垂直于對稱軸的弦叫做拋物線的通徑。如圖,已知拋物線,過其焦點F的直線交拋物線于、 兩點。過、作準線的垂線,垂足分別為、.
(1)求出拋物線的通徑,證明和都是定值,并求出這個定值;
(2)證明: .
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(本題滿分12分)給定橢圓:,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為,其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程.
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點,過動點作直線使得與橢圓都只有一個交點,且分別交其“準圓”于點,求證:為定值.
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(本小題滿分12分)已知橢圓M的中心為坐標原點 ,且焦點在x軸上,若M的一個頂點恰好是拋物線的焦點,M的離心率,過M的右焦點F作不與坐標軸垂直的直線,交M于A,B兩點。
(1)求橢圓M的標準方程;
(2)設(shè)點N(t,0)是一個動點,且,求實數(shù)t的取值范圍。
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(滿分10分)(Ⅰ) 設(shè)橢圓方程的左、右頂點分別為,點M是橢圓上異于的任意一點,設(shè)直線的斜率分別為,求證為定值并求出此定值;
(Ⅱ)設(shè)橢圓方程的左、右頂點分別為,點M是橢圓上異于的任意一點,設(shè)直線的斜率分別為,利用(Ⅰ)的結(jié)論直接寫出的值。(不必寫出推理過程)
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已知雙曲線C的中心在原點,拋物線的焦點是雙曲線C的一個焦點,且雙曲線經(jīng)過點,又知直線與雙曲線C相交于A、B兩點.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若,求實數(shù)k值.
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如圖,已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點,試在拋物線AOB這段曲線上求一點P,使△PAB的面積最大,并求出這個最大面積.
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