Question

已知數(shù)列{a_n}滿足對任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設(shè)數(shù)列的前n項和為S_n，不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）解：當n=1時，有a₁³=a₁²，
由于a_n＞0，所以a₁=1．
當n=2時，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，
將a₁=1代入上式，由于a_n＞0，所以a₂=2．
（2）解：由于a₁³+a₂³++a_n³=（a₁+a₂++a_n）²，①
則有a₁³+a₂³++a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，
由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．③
同樣有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即當n≥1時都有a_n+1-a_n=1，所以數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
故a_n=n．
（3）解：由（2）知a_n=n，則．
所以===．
∵，
∴數(shù)列{S_n}單調(diào)遞增．
所以．
要使不等式對任意正整數(shù)n恒成立，只要．
∵1-a＞0，∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即．
所以，實數(shù)a的取值范圍是．
分析：（1）由題設(shè)條件知a₁=1．當n=2時，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，由此可知a₂=2．
（2）由題意知，a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．同樣有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），由此得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．所以a_n+1-a_n=1．所以數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
（3）由（2）知a_n=n，則．再用裂項求和法能夠推導出實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題主要考查數(shù)列通項、求和與不等式等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識