Question

（1）求證：函數(shù)f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上是單調遞增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）=2^x+2^-x（x∈R）的值域；
（3）設函數(shù)g（x）=

4x+2x+k+1

4x+2x+1+1

，若對任意的實數(shù)x₁，x₂，x₃，都有g（x₁）+g（x₂）≥g（x₃），求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用函數(shù)單調性的定義證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調性求出[0，+∞）上的值域，再根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，繼而求出函數(shù)f（x）=2^x+2^-x（x∈R）的值域；
（3）化簡g（x），令2^x+2^-x=t，則g(x)=r(t)=

t+2k

t+2

=1+

2k-2

t+2

  (t≥2)，分別討論，求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）證明：設x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
因為f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1)-(2x2+2-x2)=(2x1-2x2)+(

1

2x1

-

1

2x2

)=(2x1-2x2)+

2x2-2x1

2x1+x2

=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

2x1+x2

，
因為2x1+x2＞0，2x1-2x2＜0，2x1+x2-1＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上是單調遞增函數(shù)．
（2）由（1）知，當x∈[0，+∞）時，f（x）∈[f（0），+∞），即f（x）∈[2，+∞），
又因為f（-x）=2^-x+2^x=f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，
所以當x∈R時，f（x）的值域為[2，+∞）．
（3）因為對任意的實數(shù)x₁，x₂，x₃，都有g（x₁）+g（x₂）≥g（x₃），所以[2g（x）]_min≥[g（x）]_max
由于g(x)=

4x+2x+k+1

4x+2x+1+1

=

2x+2-x+2k

2x+2-x+2

，令2^x+2^-x=t，
則g(x)=r(t)=

t+2k

t+2

=1+

2k-2

t+2

  (t≥2)，
①當k=1時，r（t）=1，適合題意；                       
②當k＜1時，

2k+2

4

≤r(t)＜1，由2×

2k+2

4

≥1，得k＜1；   
③當k＞1時，1＜r(t)≤

2k+2

4

，由2×1≥

2k+2

4

，得1＜k≤log₂6．
綜上，實數(shù)k的取值范圍為（-∞，log₂6]．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調性奇偶性，屬于中檔題．